Олімпіадні завдання

6 клас

1. Андрійкові було 16 років  19 місяців тому, а Миколці буде 19 років через 16 місяців. Хто із них старший за віком? Відповідь обґрунтуйте.

2. Назвемо число «дзеркальним», якщо справа наліво воно читається так само, як і зліва направо. Наприклад, число 78887 – «дзеркальне». Знайдіть усі «дзеркальні» п’ятицифрові натуральні числа, в записі яких використовуються тільки цифри 1 та 0

. Відповідь обґрунтуйте.

3. Марійка подивилася на малюнок і сказала: «Тут зображено сім прямокутників: один великий і шість маленьких». «Тут є ще інші – середні прямокутники» – сказала її матір. Скільки ж всього прямокутників на цьому малюнку? Відповідь обґрунтуйте.

4. Третина військової роти залишилася на території військової частини, а всі інші її бійці поїхали на стрільби. Бійці цієї роти, що залишилися, за обідом з’їли четвертину приготовленого для роти борщу, а бійці, що повернулися зі стрільб, отримали порції борщу в півтора рази більші, ніж видавалися за обідом. Скільки борщу залишилося для ротної собаки Найди? Відповідь обґрунтуйте.

5. Двоє по черзі вписують хрестики в клітинки таблиці розміром 4*4 . Програє той, після чийого ходу утвориться квадрат 2*2, в усіх клітинках якого вписані хрестики. Хто виграє: той хто починає гру чи його суперник, і як потрібно грати, щоб виграти? Відповідь обґрунтувати.

7 клас

1. Знайдіть Х з рівняння 5-(1-(2х-5)=2009

2. У кімнату з периметром підлоги 22 м поклали килим, краї якого знаходяться на відстані 50 см від кожної стіни. Скільки метрів становить периметр килима?

3.Є 10 карток, у кожній із яких одна сторона чорна, а друга – біла. Усі ці картки лежать на столі білою стороною догори. Андрійко спочатку перевертає 5карток, потім якісь 6 карток, а потім якісь 7 карток. Чи зможе Андрійко такими діями в кінцевому результаті перевернути усі 10 карток чорною стороною догори? Відповідь обґрунтуйте.

4. Вздовж дороги довжиною  60 км. ростуть лише липи (більше однієї). Перший турист йде по дорозі зі швидкістю 5 км/год . Біля кожної липи він зупиняється і відпочиває одне і те саме ціле число годин. Другий турист їде на велосипеді зі швидкістю 12 км/год. і біля кожної липи відпочиває в двічі довше за першого туриста. Вибули і прибули вони одночасно. Скільки дерев біля дороги? Відповідь обґрунтуйте.

5. Чи можна на дошці розміром  2010*2010 клітинок розташувати декілька тур так, щоб кожна тура била рівно одну іншу туру і при цьому, на кожній вертикалі і на кожній горизонталі повинна бути хоча б одна тура.

Відповідь обґрунтуйте. (Тура – це шахова фігура, яка тримає під боєм усі клітинки своєї вертикалі і своєї горизонталі.)

8 клас

1. При яких значеннях Х рівняння  mx-2008=2009  i  2009x=m-2008x

 і

мають спільний корінь?

2. Модуль значення виразу  3x+1 не перевищує 5. Скільки різних цілих значень може набувати значення виразу 8x+7 ?

3. Є  100 карток, у кожної із яких одна сторона чорна, а друга – біла. Усі ці картки лежать на столі білою стороною догори. Петрик спочатку перевертає  50 карток, потім якісь 60 карток, а потім ще якісь 70 карток. В кінцевому результаті усі 100 карток виявилися перевернутими чорною стороною догори. Скільки карток були перевернутими три рази? Вкажіть усі можливі відповіді і доведіть, що інших немає.

4. Іванко і Марічка живуть у висотному будинку, на кожному поверсі якого по 10 квартир. Номер поверху Іванка дорівнює номеру квартири Марічки, а сума номерів їх квартир дорівнює 239. Який номер квартири, в якій живе Іванко? Відповідь обґрунтуйте.

6 клас

1. Четверо білочок з’їли 2005 горішків, причому кожна з’їла не менше 100. Перша білочка з’їла більше, ніж інші. Друга й третя з’їли разом 1269 горішків. Скільки горішків з’їла перша білочка?
2. Зафарбуйте декілька клітинок у квадраті 10*10 так, щоб у кожної клітинки було рівно дві сусідні за стороною зафарбовані клітинки.
3. Тетянка сказала: «У Андрійка більше ста книг». Данилко заперечив: «Ні, менше». Марійка сказала: «Ну, хоча б одна книга у нього напевне є». Скільки книг може бути у Андрійка, якщо з цих трьох тверджень рівно одне істинне?
4. Маємо 2004 сірники. За один хід можна взяти будь-яку кількість від 1 до 5 сірників. Грають двоє. Програє той, хто не може зробити хід. Хто з двох гравців – перший чи другий, може забезпечити собі виграш?
5. Доведіть, що серед довільних 2005 натуральних чисел знайдуться два такі, що їх різниця ділиться на 2004.

7 клас

1. Учора число учнів, присутніх у класі, було у 8 разів більше числа відсутніх. Сьогодні не прийшли ще два учні і виявилося, що кількість відсутніх складає 20% від числа присутніх у класі. Скільки всього учнів у класі?
2. Із записаних чисел 1,2,…,2005 дозволяється будь-які два числа «викинути», а замість них записати різницю їх. Внаслідок многократного повторення цієї операції залишається тільки одне число. Доведіть, що це число не може бути 0.
3. Чи можна прямокутник 8*9 розрізати на прямокутники 1*6?
4. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює: а) нулю, б) одиниці.
5. Є 2005 монет, серед яких 1002 фальшиві, які відрізняються за вагою на 1 грам від справжніх. Вибирають з них довільно одну монету. Чи можна за одне зважування на терезах з двома шальками з’ясувати фальшива вона чи ні? (Можна використовувати гирьки).

8 клас

1. Коло дотикається до сторін кута NMP в точках А і В, а дотична m до цього ж кола перетинає їх в точках K і L. Знайдіть периметр трикутника KМL, Якщо відомо, що KL=16см, АВ=7см і АВМ=60.
2. Числа 2²⁰⁰⁴ і 5²⁰⁰⁴ записані одне за одним і утворюють нове число. Скільки цифр при цьому було використано.
3. По колу написано n натуральних чисел. Між кожними двома сусідніми числами вписується їх найбільший спільний дільник. Після цього попередні числа стирають, а із числами, що залишились , виконують ту ж операцію. Доведіть, що через декілька кроків всі числа на колі будуть рівні.
4. Відомо що для простого числа р>3 число р^k, записується 20-ма цифрами. Довести, що принаймні три його цифри однакові.
5. Побудувати прямокутний трикутник за сумою катетів і гіпотенузою.

9 клас

2.      Троє грають в таку гру. Кожний по черзі кладе на круглий стіл п’яти копійчані монети, монети можуть торкатися, але не повинні накладатися одна на одну. Програє той, чия монета не вміститься на столі. Довести, що перший та третій (за порядком ходів) гравці можуть так змовитись, що другий гравець завжди програватиме.

3.      У колі проведено два радіуса. Побудуйте хорду, яка ділиться цими радіусами на три рівні частини.

4.      Найти всі пари (х;у) цілих чисел, які є розв’язками рівняння .

5.      Визначити дві останні цифри числа 2²⁰⁰⁴.

6.      Тисяча точок є вершинами опуклого тисячокутника, всередині якого взято 503 точки так, що жодні три із 1503 точок не лежать на одній прямій. Многокутник розрізають на трикутники, вершинами яких є задані 1503 точки. Скільки трикутників отримаємо?